1. Остановим mysql:
bash> systemctl stop mysqld

2. Установим опцию для mySQL
bash> systemctl set-environment MYSQLD_OPTS="--skip-grant-tables"

3. Запустим mysql с обновлёнными настройками
bash> systemctl start mysqld

4. Авторизуемся в mysql под root 
bash> mysql -u root

5. Обновим root пароль используя следующие команды (замените ТУТНОВЫЙПАРОЛЬ на ваш пароль)
mysql> UPDATE mysql.user SET authentication_string = PASSWORD('ТУТНОВЫЙПАРОЛЬ') WHERE User = 'root' AND Host = 'localhost';
mysql> FLUSH PRIVILEGES;
mysql> quit

*** Для mysql 5.7.6 и старше нужно использовать 
mysql> ALTER USER 'root'@'localhost' IDENTIFIED BY 'ТУТНОВЫЙПАРОЛЬ';
mysql> FLUSH PRIVILEGES;
mysql> quit

6. Остановим mysql
systemctl stop mysqld

7. Уберём настройку mySQL
systemctl unset-environment MYSQLD_OPTS

8. Запустим mysql в стандартном режиме
systemctl start mysqld

Попробуем авторизоваться с новым паролем:
7. mysql -u root -p